L’intelligence artificielle est souvent décrite comme l’apprentissage d’un modèle à partir de données. Il s’agit d’une grande famille d’approches importante, et non d’une définition universelle de l’intelligence. En météorologie, en océanographie, dans les systèmes énergétiques, les procédés industriels et de nombreux autres domaines physiques, il existe déjà des équations, des lois de conservation, des conditions aux limites et des décennies de connaissances scientifiques. Le véritable défi consiste fréquemment à combiner ces connaissances à des observations rares, bruitées et incomplètes.
01 Une prévision peut respecter toutes les équations et pourtant partir d’un monde erroné
Un modèle dynamique décrit l’évolution d’un système à partir d’un état initial. Écrivons-le dx/dt = F(x) avec x(0) = x₀, où le vecteur d’état x(t) vit dans ℝⁿ. Si cet état initial x₀ est erroné, le modèle peut résoudre parfaitement ses équations tout en produisant une trajectoire incorrecte. Dans les systèmes non linéaires comme l’atmosphère ou l’océan, de faibles erreurs dans l’état de départ croissent rapidement — c’est la propriété caractéristique du chaos déterministe, et la raison pour laquelle une prévision ne vaut jamais mieux que son initialisation.
Les observations ne résolvent pas le problème à elles seules. Satellites, bouées, radars et capteurs ne mesurent que certaines variables, en certains lieux et à certains moments, avec une part d’incertitude. L’état complet du modèle peut contenir des millions de valeurs ; le vecteur d’observation est généralement bien plus petit. Reconstruire l’état complet et physiquement cohérent à partir de ces fragments n’est pas une interpolation — c’est une inférence sous contrainte, où la contrainte est le modèle lui-même.
Les équations encodent la structure et la cohérence physique, mais l’état initial et les paramètres peuvent être incertains.
Les mesures ancrent le modèle dans la réalité, mais elles ne décrivent ni toutes les variables ni chaque point de l’espace et du temps.
Inférer la condition initiale, les paramètres ou la trajectoire cachés qui expliquent le mieux les observations tout en respectant le modèle.
C’est le territoire des problèmes inverses, et il vaut la peine d’être formel à leur sujet, car le cours l’est. La modélisation mathématique décrit un système au moyen d’équations — généralement des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles — qui font intervenir des paramètres, des conditions initiales et des conditions aux limites. Les résoudre dans le sens naturel constitue le problème direct : à partir des entrées et des paramètres, calculer la sortie. En écrivant un modèle comme une application M : (x, p) ↦ y des entrées x et des paramètres p vers la sortie y, le problème inverse consiste à parcourir cette application en sens inverse : à partir d’une connaissance partielle de y, reconstruire x et/ou p. Les problèmes inverses surgissent précisément lorsqu’un système n’est que partiellement connu mais peut être observé, et que l’on souhaite reconstruire des caractéristiques qui ne sont pas directement mesurables.
Les applications sont partout où le cours porte le regard : imagerie médicale (tomographie par rayons X et par ultrasons, élastographie), analyse d’images (défloutage, débruitage, inpainting, restauration), géosciences (tomographie sismique, imagerie radioastronomique et assimilation de données pour la prévision météorologique), traitement du signal (déconvolution) et génie mécanique (détection de fissures et autres contrôles non destructifs). Et il existe un pont vers l’apprentissage automatique que le cours établit explicitement : l’ajustement de modèle et l’identification de paramètres sont des problèmes inverses. La régression linéaire multivariée — reconstruire la matrice de coefficients A dans y = Ax à partir de couples observés, au sens des moindres carrés — en est le plus simple. Le même cadre couvre l’entraînement de réseaux de neurones et l’estimation de paramètres dans les modèles d’EDO et d’EDP, y compris la calibration des jumeaux numériques.
Pourquoi les problèmes inverses sont difficiles : Hadamard et l’instabilité d’exécuter un modèle à rebours
En 1902, Jacques Hadamard a introduit la notion de problème bien posé. Un problème est bien posé si trois propriétés sont réunies : une solution existe, la solution est unique, et la solution dépend continûment des données. Si l’une des trois fait défaut, le problème est mal posé.
L’existence et l’unicité sont des prérequis intuitifs — sans unicité, des données même parfaites peuvent ne pas déterminer ce que l’on cherche à reconstruire. La troisième condition, la stabilité, est la plus subtile et la plus lourde de conséquences. Elle énonce qu’un petit changement dans les données — généralement une erreur de mesure — ne devrait produire qu’un petit changement dans la solution reconstruite. Les problèmes directs sont généralement stables ; les problèmes inverses, parce qu’ils se heurtent souvent à l’irréversibilité ou à la causalité, ne le sont fréquemment pas. Le caractère mal posé est la règle, non l’exception.
Le cours rend cela concret avec l’exemple le plus net possible : la dérivation. Dériver est l’inverse d’intégrer, et c’est instable. Prenons une fonction régulière f et perturbons-la par une infime oscillation à haute fréquence, f_δ,n(x) = f(x) + δ·sin(nx). La perturbation de la fonction a une amplitude δ, que l’on peut rendre aussi petite que l’on veut. Mais la perturbation de sa dérivée a une amplitude δ·n, qui croît sans borne à mesure que la fréquence n augmente. Une erreur arbitrairement petite dans les données produit une erreur arbitrairement grande dans la réponse. L’identification de paramètres dans une équation différentielle se comporte de la même manière : dans l’équation de la chaleur unidimensionnelle −d/dx(a(x)·du/dx) = f, reconstruire la conductivité inconnue a à partir de mesures de température s’écrit aisément et reste pourtant mal posé partout où le gradient de température s’annule — là, aucune solution n’existe.
La conséquence pratique est la régularisation : on ajoute une information a priori pour rétablir la stabilité, en troquant un peu de fidélité aux données bruitées contre une solution qui n’explose pas. Ce n’est pas un artifice greffé à la fin ; c’est une décision de modélisation portant sur ce que l’on croit avant même de regarder. Garder cette idée à l’esprit — que le choix de l’a priori est une hypothèse délibérée et inspectable — fait l’essentiel de la différence entre une reconstruction défendable et un artefact d’apparence assurée.
02 Assimilation de données : amener le modèle à écouter sans lui faire oublier ce qu’il sait
L’assimilation de données est le domaine mathématique situé à l’interface du modèle et de l’observation. Elle ne demande ni aux données de remplacer le modèle ni au modèle d’ignorer les données. Elle recherche l’état qui rend les deux aussi compatibles que possible — une négociation contrôlée dans laquelle le modèle apporte la dynamique (quelles évolutions sont physiquement possibles), les observations apportent la correction (où la trajectoire simulée s’écarte de la réalité), et un ensemble d’hypothèses statistiques détermine le degré de confiance à accorder à chaque source.
Le cours enseigne le domaine tel qu’il existe réellement : non pas un seul algorithme, mais une petite famille de classes de méthodes, chacune offrant un compromis différent entre optimalité, hypothèses et coût.
Un petit laboratoire d’assimilation
Cette illustration volontairement simple combine une trajectoire de modèle avec des observations. L’analyse en bleu-vert évolue lorsque la confiance supposée dans les observations change. L’assimilation de données réelle utilise des structures de covariance, des contraintes dynamiques et des méthodes d’optimisation plus riches.
- Les méthodes variationnelles traitent l’assimilation comme la minimisation d’une fonction de coût. La 3D-Var trouve la meilleure estimation d’état à un instant unique ; la 4D-Var trouve la meilleure estimation d’état sur toute une fenêtre d’assimilation, et se formule à travers la théorie du contrôle optimal. (La 3D-Var fut la méthode opérationnelle à Météo-France jusqu’en 2000 — un rappel utile que « l’état de l’art » porte une date.)
- Les méthodes séquentielles alternent une étape de prévision et une étape de correction statistique. L’interpolation optimale est simple à mettre en œuvre mais physiquement incohérente ; le filtre de Kalman est la théorie de l’estimation statistique optimale ; les variantes d’ensemble et d’ordre réduit (EnKF, le filtre SEEK) existent précisément parce que le filtre complet ne passe pas à l’échelle — nous y reviendrons plus bas.
- Les méthodes de nudging ajoutent un terme de rétroaction aux équations du modèle, attirant continûment l’état simulé vers les observations. Ce sont, dans le langage de la théorie du contrôle, des observateurs — et c’est là que Blum et Auroux ont apporté leur propre contribution, l’objet du §05.
Le cadrage honnête, d’un bout à l’autre, est celui sur lequel le cours insiste : un état reconstruit ne vaut que par les observations et le mécanisme qui le sous-tendent. Bâtie sans soin, l’assimilation blanchit des hypothèses en conclusions. Bâtie avec rigueur, elle est une façon de raisonner rigoureusement sur un système que l’on ne peut pas observer entièrement.
03 L’optimisation est le pont — et c’est là que le cursus converge
L’assimilation variationnelle de données transforme la reconstruction en problème d’optimisation, et c’est précisément là que le cours d’optimisation de l’école cesse d’être un prérequis à cocher pour devenir le moteur de la méthode. La fonction de coût de la 4D-Var, dans la notation employée par le cours, est
Les détails mathématiques déterminent la pondération des erreurs et la propagation de l’incertitude. L’idée centrale est une recherche sous contraintes de la trajectoire la plus cohérente à la fois avec les équations et avec les mesures.
Simuler le système à partir de l’estimation actuelle de l’état initial.
Déterminer comment la modification des inconnues fait évoluer l’écart.
Mettre à jour l’estimation, relancer le calcul et poursuivre jusqu’à obtenir une solution acceptable.
Les inconnues sont l’état initial x₀ et les paramètres du modèle u. Le premier terme maintient la solution proche d’une estimation a priori x_b (l’ébauche), pondérée par l’inverse de la covariance d’erreur d’ébauche B. Le second terme pénalise l’écart entre la trajectoire du modèle et les observations à chaque instant tᵢ, pondéré par l’inverse de la covariance d’erreur d’observation Rᵢ, l’opérateur d’observation Hᵢ projetant l’état du modèle dans l’espace des observations. Minimiser J sous la contrainte du modèle dx/dt = F(x, u) est exactement un problème de contrôle optimal : trouver la condition initiale et les paramètres qui produisent la trajectoire la plus cohérente à la fois avec les équations et avec les mesures.
Tout ce que construit le cours Continuous Optimisation est nécessaire ici. La fonction de coût est un objectif à valeurs réelles sur un espace de grande dimension ; le modèle est une contrainte ; les normes pondérées par les covariances sont des formes quadratiques ; la convexité (ou son absence) décide si un minimum est global ; et le minimiseur se trouve non par un inverse explicite mais par une méthode de gradient itérative. À un instant unique, la 3D-Var admet même la solution explicite x* = [B⁻¹ + HᵀR⁻¹H]⁻¹(B⁻¹x_b + HᵀR⁻¹x_obs) — et le cours prend soin de souligner pourquoi cette formule est inutilisable en pratique : les matrices sont bien trop grandes pour être inversées, de sorte que l’on évalue J et son gradient et qu’on les confie plutôt à un algorithme d’optimisation.
Cela soulève la question autour de laquelle toute la méthode tourne : comment obtenir le gradient de J par rapport à un vecteur de contrôle qui peut compter des dizaines de millions de composantes ? Les différences finies exigeraient une exécution du modèle par composante — tout à fait impossible. La réponse est la méthode de l’adjoint : exécuter une fois le modèle direct, puis intégrer un modèle adjoint à rebours sur la fenêtre, en recueillant un terme de forçage à chaque instant d’observation, et lire le gradient complet sur la solution adjointe. Le coût est d’une résolution directe plus une résolution rétrograde, indépendamment de la dimension du vecteur de contrôle. Ce seul fait est ce qui rend l’assimilation variationnelle à grande échelle réalisable.
Le cours ne cache pas à quel point c’est exigeant, et deux de ses mises en garde méritent d’être mises en avant, car elles relèvent exactement du genre de détail qui sépare un système qui fonctionne d’un système simplement plausible :
- L’adjoint du modèle discrétisé n’est pas la discrétisation de l’adjoint continu. Dériver les équations adjointes sur le papier puis les discrétiser donne le mauvais gradient ; la voie correcte consiste à différentier directement le modèle discret (en pratique, par différentiation automatique — tangent-linéaire pour la dérivée directe, adjoint pour la dérivée inverse). « Différentier, puis discrétiser » et « discrétiser, puis différentier » ne commutent pas, et inverser ces deux opérations est une source d’erreur classique et silencieuse.
- Pour un modèle non linéaire,
Jn’est généralement pas convexe. Elle peut présenter plusieurs minima locaux, de sorte que le résultat dépend du point de départ de l’optimisation, et l’on ajoute un terme de régularisation —α‖x₀ − x₀_background‖² + β‖u − u_background‖²— pour apprivoiser le problème. De grands coefficients pénalisent ; de petits coefficients régularisent ; le choix est, là encore, une décision de modélisation plutôt qu’un réglage par défaut.
Il est une discipline de plus que les travaux pratiques rendent non négociable, et c’est le même scepticisme qu’exige la théorie des problèmes inverses : avant de faire confiance à un gradient adjoint, vérifiez-le numériquement. Comparez le gradient produit par l’adjoint à une dérivée directionnelle par différences finies dans une direction aléatoire. Si les deux ne concordent pas, l’adjoint comporte un bogue — et une 4D-Var bâtie sur un gradient erroné minimisera la mauvaise quantité tout en paraissant parfaitement saine.
04 Back and Forth Nudging : la correction sans adjoint
Jacques Blum et Didier Auroux ont introduit l’algorithme Back and Forth Nudging (BFN) en 2005. Le nudging standard ajoute un terme de rétroaction aux équations du modèle — un observateur de Luenberger (asymptotique), au sens de la théorie du contrôle — qui attire l’état simulé vers les observations à mesure que le modèle s’exécute. L’idée de Blum et Auroux fut d’appliquer cette correction à la fois vers l’avant et vers l’arrière sur une même fenêtre d’assimilation :
Partir de l’estimation actuelle et intégrer le modèle physique en rapprochant sa trajectoire des observations par nudging.
Utiliser l’état final corrigé pour intégrer en sens inverse sur la même fenêtre, avec un terme de rétroaction de signe approprié.
L’état reconstruit au début de la fenêtre devient la nouvelle estimation initiale. Itérer jusqu’à stabilisation de la trajectoire reconstruite.
Le premier article a démontré la convergence pour un système linéaire d’équations différentielles ordinaires. Tout aussi important, il a rendu la méthode attrayante en pratique : sa formulation centrale ne nécessite ni linéarisation du modèle, ni construction d’un adjoint, ni boucle de minimisation distincte — précisément la machinerie qui alourdit la 4D-Var. Des travaux ultérieurs ont développé la théorie et testé l’approche sur des systèmes de Lorenz, des équations de transport, des modèles d’eau peu profonde et des modèles océaniques complets.
| Famille de méthodes | Mécanisme central | Atout | Défi d’ingénierie |
|---|---|---|---|
| 4D-Var | Minimiser un coût sur une fenêtre temporelle. | Formulation variationnelle structurée globalement ; assimile toute une fenêtre d’un coup. | Le développement de l’adjoint et les intégrations répétées du modèle sont exigeants ; B est difficile à estimer. |
| Filtres de Kalman / d’ensemble | Alterner prévision et correction statistique. | Traitement explicite de l’évolution de l’incertitude. | La propagation des covariances ou de grands ensembles est coûteuse ; la non-linéarité impose une approximation. |
| BFN / DBFN | Alterner observateurs vers l’avant et vers l’arrière. | Rétroaction directe, mise en œuvre comparativement légère, convergence rapide dans les configurations étudiées ; pas d’adjoint. | La stabilité vers l’arrière, le choix des gains et l’adéquation du modèle exigent toujours une attention mathématique. |
L’extension Diffusive Back and Forth Nudging (DBFN) a été conçue pour les modèles diffusifs, où l’intégration rétrograde naïve est instable. Lors d’expériences sur un modèle d’eau peu profonde bidimensionnel et un modèle océanique tridimensionnel aux équations primitives, elle a stabilisé l’étape rétrograde et réduit l’impact des observations bruitées. Il s’agit d’un résultat de recherche dans des cadres précis — non de l’affirmation qu’un algorithme remplace toutes les autres méthodes. La position mûre, que le cours énonce sans détour, est que les méthodes se choisissent selon la structure du modèle, le système d’observation, l’incertitude et le budget de calcul. « Utiliser l’IA » ne constitue pas encore une spécification de méthode.
05 Deux vies de recherche, une même culture des mathématiques appliquées
La collaboration est puissante parce qu’elle s’inscrit dans des carrières bien plus vastes. Le même langage mathématique — équations aux dérivées partielles, contrôle, optimisation, analyse numérique et problèmes inverses — circule de la physique des plasmas à la circulation océanique, au traitement d’images, à la prévision météorologique et à la modélisation industrielle.
Pr Jacques Blum
Pr Jacques Blum — analyse numérique, contrôle et assimilation de données. Après l’École normale supérieure et un doctorat sous la direction de Jacques-Louis Lions, des recherches au CNRS et des postes de professeur à Grenoble, à l’École Polytechnique et à Nice, Jacques Blum a construit sa carrière autour de la simulation, de l’identification et du contrôle optimal de systèmes physiques gouvernés par des équations aux dérivées partielles.
Ses travaux couvrent l’équilibre des plasmas de tokamak, la reconstruction en temps réel, la circulation océanique et l’assimilation de données. À DSTI, il est membre du Conseil scientifique et a contribué à définir l’approche de l’école en matière d’accompagnement mathématique de l’ensemble des étudiants. Parmi ses distinctions : la Médaille de bronze du CNRS (1984), le Prix Blaise-Pascal (1990), le Prix Seymour Cray (1998) et le Grand Prix de la Ville de Nice (2017).
Pr Didier Auroux
Pr Didier Auroux — directeur de la Maison de la Modélisation, de la Simulation et des Interactions. Didier Auroux a été formé à l’École normale supérieure de Lyon et a réalisé sa thèse sous la direction de Jacques Blum — Étude de différentes méthodes d’assimilation de données pour l’environnement (2003) —, suivie d’une habilitation sur les algorithmes rapides pour le traitement d’images et l’assimilation de données.
Ses recherches réunissent géophysique, observateurs, contrôle optimal, problèmes inverses, analyse numérique et calcul scientifique. Il dirige aujourd’hui la Maison de la Modélisation, de la Simulation et des Interactions de l’Université Côte d’Azur, une structure qui soutient la recherche par la modélisation, la simulation, le calcul haute performance et la science des données.
Tous deux tiennent à enseigner à l’ensemble des étudiants, y compris à ceux qui se trouvent loin de leur propre niveau de recherche. Jacques a proposé la création des Support Sessions de DSTI, dans l’esprit des recitation classes pratiquées dans les grandes universités ; Didier anime régulièrement des sessions de soutien pour les modules à forte composante mathématique. La confiance en mathématiques ne se construit pas en abaissant le plafond intellectuel. Elle se construit en aménageant une voie fiable pour l’atteindre — ce qui est, au fond, la raison d’être de la chaîne de cours du §06.
06 La chaîne d’enseignement : des mathématiques appliquées à l’assimilation de données
Ce qui rend la version DSTI singulière n’est pas que deux mathématiciens éminents figurent sur une liste d’enseignants. C’est que ces deux mêmes personnes enseignent une séquence connectée de cours, chacun véritable prérequis du suivant, qui mène l’étudiant du gradient d’une fonction à une variable jusqu’à une 4D-Var opérationnelle. Jacques Blum et Didier Auroux enseignent les trois cours ensemble, en alternant les jours d’enseignement, de sorte qu’une promotion voit les deux professeurs tout au long de la chaîne plutôt que d’en rencontrer un par matière. La destination est ardue ; le parcours est construit délibérément.
Warm Up — Fundamentals of Mathematics. Chaque MSc data de DSTI commence par un Warm Up qui établit les fondements mathématiques, auprès de promotions dont la préparation antérieure est très variable. C’est l’étape de mise à niveau avant toute spécialisation.
Applied Mathematics for Data Science. Dans l’ensemble des MSc data, ce cours fournit les mathématiques de travail que tout le reste présuppose : la dérivation à une et plusieurs variables, le gradient, le développement de Taylor ; l’algèbre linéaire à travers les vecteurs et les matrices, les systèmes linéaires, la diagonalisation, les valeurs propres et vecteurs propres, et les formes quadratiques ; et les nombres complexes. Le syllabus est franc sur ses outils — « papier, crayon et cerveau ; R ou Python pour vérifier les calculs ». Ce ne sont pas des sujets arbitraires : le gradient réapparaît comme l’objet que suit un optimiseur, la décomposition en éléments propres sous-tend la structure des covariances, et les formes quadratiques sont la forme de toute fonction de coût du §04.
Continuous Optimisation. C’est la charnière de toute la séquence. Le cours développe les fonctions de coût et les contraintes (d’égalité, d’inégalité, et les contraintes données par une équation différentielle) ; la différentiabilité au sens de Fréchet et de Gâteaux ; la convexité ; les conditions d’optimalité du premier et du second ordre ; l’existence et l’unicité d’un minimum — y compris le matériel véritablement avancé de la minimisation dans les espaces de Hilbert, la convergence faible et la semi-continuité inférieure ; les multiplicateurs de Lagrange et la dualité ; le théorème de Kuhn-Tucker (KKT) et les points selles ; puis les algorithmes qui font le travail : la descente de gradient à pas fixe et à pas optimal, le gradient conjugué, le gradient projeté et l’algorithme d’Uzawa. De manière révélatrice, le cours pose déjà les problèmes inverses comme une optimisation — parmi ses exemples traités figurent les moindres carrés (Av = b) et l’identification d’un coefficient inconnu dans −div(K∇u) = f par minimisation de J = Σ [u(xᵢ) − uᵢ]². Le pont vers l’assimilation de données est intégré au syllabus d’optimisation lui-même.
Jacques a proposé la création des Support Sessions de DSTI, dans l’esprit des recitation classes pratiquées dans les universités de l’Ivy League et les grandes universités californiennes. Didier anime régulièrement des sessions de soutien pour les modules à forte composante mathématique. Le niveau attendu est élevé, et un enseignement structuré supplémentaire aide les étudiants à l’atteindre.
Inverse Problems & Data Assimilation. Le domaine de recherche entre directement dans le cursus. Le cours couvre les problèmes bien posés et mal posés (Hadamard) ; les méthodes variationnelles (contrôle optimal, le lagrangien, les méthodes de l’adjoint) ; les méthodes séquentielles (filtrage de Kalman) ; et le nudging (observateurs). Ses prérequis annoncés sont exacts et sans complaisance : « Maths, Continuous Optimisation & Python Labs », en s’appuyant aussi sur les fondements en statistique et en apprentissage automatique de l’école. Les exemples sont l’identification de paramètres et la calibration de modèles — le même cadre de problème inverse que celui du §01, désormais à pleine puissance.
Didier enseigne Mathematics Harmonisation avec Dr Christine Malot, afin d’aider les étudiants à établir un socle mathématique commun avant d’aborder des travaux quantitatifs plus avancés. Découvrir le programme.
Jacques enseigne la composante physique, reliant le calcul aux systèmes physiques, aux limites énergétiques et aux enjeux environnementaux qu’il influence. Découvrir le programme.
Les travaux pratiques sont l’endroit où les méthodes mêmes de l’article deviennent quelque chose qu’un étudiant a construit de ses mains. Les TP utilisent le système de Lorenz — le modèle chaotique canonique de basse dimension — dans une conception en expérience jumelle : engendrer une trajectoire « vraie » connue, en tirer des observations rares et bruitées (observer deux des trois variables, tous les cent pas, avec ajout de bruit), puis partir d’une ébauche délibérément fausse et tenter de reconstruire la vérité. Sur ce banc d’essai unique et honnête, les étudiants mettent en œuvre tour à tour les trois familles de méthodes :
- Nudging — vers l’avant puis vers l’arrière, c’est-à-dire la BFN elle-même, codée directement ;
- 4D-Var — la fonction de coût, le modèle adjoint pour son gradient, et la vérification numérique du gradient avant de lui faire confiance ;
- Kalman — le filtre linéaire, puis le filtre de Kalman étendu, qui met au jour précisément ce qui se brise lorsqu’un modèle non linéaire est forcé à travers une correction linéarisée.
L’expérience jumelle est elle-même une leçon de validation : parce que la vérité est connue par construction, chaque méthode peut être évaluée par rapport à elle — c’est pourquoi c’est le bon endroit pour apprendre, et aussi pourquoi c’est plus facile que la réalité opérationnelle, où la vérité est précisément ce qui manque. Cet écart entre un jouet diagnostique et le système réel est nommé, non escamoté.
Un mot sur les personnes derrière la chaîne, car il s’agit d’une véritable filiation intellectuelle et non d’une décoration. Jacques Blum a soutenu son doctorat sous la direction de Jacques-Louis Lions, dont la théorie du contrôle optimal pour les systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles est le fondement mathématique sur lequel repose la 4D-Var. Didier Auroux, à son tour, a soutenu son doctorat sous la direction de Jacques Blum — Étude de différentes méthodes d’assimilation de données pour l’environnement, soutenue en 2003. La machinerie du contrôle optimal enseignée dans le cours d’assimilation de données est, au sens direct, la tradition que tous deux ont héritée et prolongée — et l’algorithme Back and Forth Nudging est né de cette même collaboration. La chaîne d’enseignement, Lions → Blum → Auroux, récapitule une chaîne de recherche.
La chaîne décrite ici est la colonne vertébrale des MSc data, mais elle n’épuise pas leur enseignement. Au niveau licence, Didier Auroux enseigne également Mathematics Harmonisation dans le BSc Computer Science & Engineering, avec Dr Christine Malot, afin d’aider les étudiants à bâtir un socle mathématique commun avant des travaux quantitatifs plus avancés ; et Jacques Blum enseigne la physique du parcours Energy – Climate – Sustainable IT du BSc, traité séparément dans Efficient IT begins before the code.
07 Le problème d’échelle, et pourquoi la structure gagne sa place
Il serait facile de prendre tout cela pour une théorie élégante. Le cours affirme avec force qu’il n’en est rien, et la raison est l’échelle. Pour l’atmosphère et les océans, une grille réaliste compte de l’ordre d’une cinquantaine de niveaux verticaux et plusieurs centaines de points dans chaque direction horizontale — bien au-delà de dix millions de points de grille — avec plusieurs variables physiques (composantes de la vitesse, pression, température, humidité ou salinité, concentrations chimiques) en chacun. Le vecteur de contrôle d’une 4D-Var peut donc atteindre 10⁷ à 10⁹ composantes ; le nombre d’observations est de 10⁵–10⁶ ; les matrices de covariance sont nominalement de taille n × n, c’est-à-dire astronomiquement grandes ; et un centre de prévision opérationnel doit produire une analyse en trois à six heures. Estimer ne serait-ce que la covariance d’erreur d’ébauche B est un problème de recherche à part entière, et la prévision est sensible à ce choix.
Voilà la réalité d’ingénierie derrière les mathématiques, et c’est un territoire reconnaissable de DSTI — là où la mémoire, le coût de calcul et un budget de temps serré décident quelle méthode est admissible. C’est aussi pourquoi représenter la structure connue n’est pas une préférence de style mais une efficacité : une méthode plus petite et structurée peut signifier moins de mouvements de données, moins d’entraînement, une cohérence physique plus forte et un compte rendu plus clair des échecs qu’un apprenant générique plus grand. La discipline consiste à garder la frontière inspectable — à savoir quelle partie du système est imposée par la physique et quelle partie est apprise à partir des données.
Ne contraignez pas l’apprenant à redécouvrir ce que le domaine sait déjà.
Lorsque des lois physiques, contraintes, taxonomies ou relations fiables existent, représentez-les. Réservez l’apprentissage à partir des données à l’incertitude résiduelle, aux paramètres inconnus, aux échelles non résolues et aux motifs que le modèle explicite ne peut fournir. L’intelligence réside dans la combinaison.
Les lois de conservation, les équations différentielles, les contraintes causales et les connaissances du domaine sont de l’information. Les écarter n’est pas neutre : c’est un choix de conception.
Les données sont précieuses lorsque les paramètres sont incertains, les modèles incomplets, les effets sous-maille non résolus ou les motifs impossibles à spécifier analytiquement.
Le travail difficile consiste à décider comment interagissent l’erreur du modèle, l’erreur d’observation et les composantes apprises, puis à valider le système obtenu.
Assimilation de données
Combiner un modèle dynamique aux observations afin que l’état reconstruit respecte à la fois les données disponibles et les lois qui gouvernent l’évolution.
Web sémantique
Représenter explicitement les entités et relations connues plutôt que de demander à chaque système en aval de les inférer de nouveau à partir de données non structurées.
Ce principe trouve un écho ailleurs dans le cursus — dans l’enseignement des technologies du Web sémantique par Pr Fabien Gandon, le même instinct appliqué aux connaissances plutôt qu’à la physique : représenter explicitement ce qui est déjà connu, plutôt que de réapprendre systématiquement le modèle entier à partir de données brutes. La discipline commune est de savoir ce que l’on sait, apprendre ce que l’on ignore, et faire de la frontière entre les deux quelque chose que l’on peut inspecter.
08 Le parcours de recherche derrière les enseignements
Cet article s’appuie sur une suite de publications qui retrace les travaux depuis l’introduction d’un algorithme et la preuve de sa convergence jusqu’aux comparaisons numériques, aux développements théoriques et aux applications géophysiques.
La note fondatrice ; introduit la BFN et démontre la convergence pour un système linéaire d’EDO.
Développement plus complet et étude numérique pour l’assimilation océanographique.
L’extension DBFN pour la diffusion lors de l’intégration vers l’arrière.
Essais sur des modèles d’eau peu profonde et des modèles océaniques complets, y compris le comportement en présence de bruit d’observation.
Fondements : problèmes inverses, contrôle optimal, assimilation de données
- Hadamard, J. (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. — La définition originale du caractère bien posé.
- Lions, J.-L. (1971). Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Springer. — La théorie du contrôle optimal qui sous-tend l’assimilation variationnelle de données.
- Kalnay, E. (2003). Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability. Cambridge University Press. — Ouvrage de référence ; au programme de lecture du cours.
- Evensen, G. (2006). Data Assimilation: The Ensemble Kalman Filter. Springer. — Ouvrage de référence ; au programme de lecture du cours.
- Bennett, A. F. (2002). Inverse Modeling of the Ocean and Atmosphere. Cambridge University Press. — Au programme de lecture du cours.
- Auroux, D. (2003). Étude de différentes méthodes d’assimilation de données pour l’environnement. Thèse de doctorat, Université de Nice-Sophia Antipolis (sous la direction de Jacques Blum).
Les professeurs
- Pr Jacques Blum — Page universitaire · Biographie
- Pr Didier Auroux — Page universitaire · Publications · Maison de la Modélisation, de la Simulation et des Interactions
Le contenu des §§01–06 et du §08 décrivant la structure, la portée et le contenu travaillé des cours (le cadrage et les exemples de problèmes inverses, le traitement du caractère bien posé de Hadamard et l’instabilité de la dérivation, les fonctions de coût 3D/4D-Var et la méthode de l’adjoint, la mise en garde « discrétiser ou différentier », les ordres de grandeur d’échelle et les contraintes opérationnelles, la taxonomie des méthodes, et les travaux pratiques en expérience jumelle de Lorenz mettant en œuvre le nudging, la 4D-Var et Kalman avec une vérification du gradient) est tiré des supports de cours DSTI des professeurs Blum et Auroux eux-mêmes — syllabus, notes de cours et carnets d’étudiants pour Applied Mathematics for Data Science, Continuous Optimisation, et Inverse Problems & Data Assimilation — et non de citations publiques, sauf là où une source publique est liée dans le texte.
Pour conclure : la leçon que les étudiants doivent garder
L’intelligence artificielle n’est pas une catégorie unique de modèles. Elle est la construction rigoureuse de systèmes qui infèrent, optimisent et agissent dans l’incertitude. Parfois, les données doivent apprendre le modèle. Parfois, elles doivent corriger un modèle qui encode déjà une physique réelle. Savoir faire la différence — et pouvoir défendre ce choix avec une fonction de coût, une covariance d’erreur, un argument de convergence et un compte rendu honnête de ce qui a été supposé — fait partie du métier d’ingénieur qui comprend les fondements scientifiques, et non les seuls outils.
Il est juste que ce cours s’inscrive dans une chaîne qui commence par le gradient d’une seule fonction et s’achève à une frontière de la recherche, enseignée par deux mathématiciens qui ont appris le domaine de celui qui en a largement fondé la moitié relevant de la théorie du contrôle. C’est la version de l’expertise que DSTI cherche à transmettre : non pas l’assurance de lancer une simulation, mais le discernement de savoir ce que vaut une reconstruction.